이차방정식 계산기 — 근과 판별식

이차방정식은 근의 공식 하나로 모두 풀립니다. 다만 판별식을 먼저 보면 어떤 형태의 답이 나올지 미리 알 수 있습니다.

결론부터

• 근의 공식 = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
• 판별식 D = b² − 4ac 가 근의 개수를 결정합니다
• D > 0 두 실근, D = 0 중근, D < 0 허근

판별식으로 판정하기

계산하기 전에 D부터 구하면 답의 형태를 알 수 있습니다. 근을 구하지 않고 개수만 물어보는 문제가 자주 나오는 이유입니다.

근의 공식

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a

x² − 5x + 6 = 0 이면 D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1) ÷ 2 = 3 또는 2입니다.

인수분해로 풀기

계수가 간단하면 인수분해가 빠릅니다.

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 또는 x = 3

곱이 c, 합이 −b가 되는 두 수를 찾으면 됩니다. 곱이 6이고 합이 5인 두 수는 2와 3입니다.

인수분해가 안 되면 근의 공식을 씁니다. 사실 근의 공식은 완전제곱식으로 만들어 유도한 것이라 언제나 통합니다.

근과 계수의 관계

두 근을 α, β라 하면

α + β = −b ÷ a
α × β = c ÷ a

x² − 5x + 6 = 0 이면 합이 5, 곱이 6입니다. 실제 근 2와 3의 합과 곱이 맞습니다.

근을 구하지 않고도 합과 곱을 알 수 있어 여러 문제에서 활용됩니다.

거꾸로 합이 s, 곱이 p인 두 수를 근으로 하는 방정식은 x² − sx + p = 0 입니다.

그래프와 꼭짓점

y = ax² + bx + c 는 포물선입니다.

꼭짓점의 x좌표는 −b ÷ 2a 입니다. 이 값을 대입하면 y좌표가 나옵니다.

a > 0이면 아래로 볼록해 꼭짓점이 최솟값, a < 0이면 위로 볼록해 꼭짓점이 최댓값입니다.

x² − 5x + 6 의 꼭짓점은 (2.5, −0.25)입니다. 아래로 볼록하므로 최솟값이 −0.25입니다.

직접 확인해 본 것

여러 계수로 계산해 봤습니다.

D가 완전제곱수면 근이 유리수입니다. D = 1, 4, 9처럼 제곱수면 근이 깔끔하게 떨어집니다. 문제집의 방정식이 대체로 이런 형태인 이유입니다.

a가 0이면 이차방정식이 아닙니다. 일차방정식이 되어 근이 하나입니다. 이 계산기는 그 경우도 처리합니다.

허근은 항상 켤레 쌍으로 나옵니다. 계수가 실수라면 p + qi가 근일 때 p − qi도 근입니다.

어디에 쓰이나

포물선 운동 — 던진 물체의 높이는 시간에 대한 이차식입니다. 땅에 닿는 시각은 y = 0이 되는 근입니다.

최대 넓이 — 둘레가 정해진 직사각형의 넓이는 이차식입니다. 꼭짓점에서 최대가 됩니다. 도형 넓이 계산기에서 다룬 "정사각형에 가까울수록 넓다"가 이 이야기입니다.

손익분기 — 매출과 비용이 이차식으로 모형화되면 이익이 0이 되는 지점이 근입니다.

최적 가격 — 가격을 올리면 판매량이 줄어드는 관계에서 매출은 이차식이 되고 최대점이 꼭짓점입니다.

완전제곱식으로 바꾸기

꼭짓점을 바로 읽으려면 완전제곱식으로 정리합니다.

ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + c − b²/4a

x² − 5x + 6 = (x − 2.5)² − 0.25 입니다. 괄호 안이 0이 될 때 최솟값 −0.25를 가지므로 꼭짓점이 (2.5, −0.25)임이 바로 보입니다.

근의 공식도 이 변형에서 나옵니다.

근의 공식이 나오는 과정

근의 공식은 외우는 것이지만, 어디서 왔는지 알면 기억에 남습니다.

ax² + bx + c = 0 에서 양변을 a로 나눕니다.

x² + (b/a)x + c/a = 0
x² + (b/a)x = −c/a

좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 (b/2a)²을 양변에 더합니다.

(x + b/2a)² = b²/4a² − c/a = (b² − 4ac) / 4a²
x + b/2a = ±√(b² − 4ac) / 2a
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

루트 안이 판별식입니다. 이 값이 음수면 실수 범위에서 제곱근을 취할 수 없어 허근이 나옵니다.

그래프로 이해하기

y = ax² + bx + c 의 그래프는 포물선입니다. 방정식의 근은 이 포물선이 x축과 만나는 점의 x좌표입니다.

D > 0 — 두 점에서 만납니다. D = 0 — 한 점에서 접합니다. D < 0 — 만나지 않습니다.

a의 부호가 볼록한 방향을 정하고, |a|가 클수록 폭이 좁아집니다.

c는 y절편입니다. x = 0을 대입하면 y = c이기 때문입니다.

꼭짓점 −b/2a는 두 근의 평균이기도 합니다. 근이 3과 2면 평균은 2.5로, 꼭짓점의 x좌표와 같습니다. 포물선이 좌우 대칭이기 때문입니다.

실무에서 이차식이 나오는 곳

최적 가격 찾기 — 가격을 p, 판매량이 (a − bp)라면 매출은 p(a − bp) = ap − bp² 로 이차식이 됩니다. 꼭짓점이 매출 최대점입니다.

면적 최대화 — 둘레가 고정된 직사각형의 넓이는 이차식입니다.

낙하와 포물선 운동 — 높이가 시간의 이차식으로 표현됩니다.

손익 구간 — 이익이 0이 되는 두 지점 사이가 흑자 구간입니다. 손익분기점 계산기는 선형 모형을 다루지만, 가격에 따라 수요가 변하는 경우는 이차식이 됩니다.

통계의 최소제곱법 — 오차의 제곱 합을 최소화하는 문제도 이차식의 최솟값을 찾는 문제입니다.

계수를 넣을 때 주의할 점

부호를 그대로 넣어야 합니다. x² − 5x + 6 = 0 이면 b는 −5입니다. 5가 아닙니다. 부호를 빠뜨리면 근이 전혀 다르게 나옵니다.

항이 없으면 0입니다. x² − 9 = 0 이면 b = 0, c = −9입니다.

우변이 0이 아니면 먼저 옮깁니다. x² = 3x + 4 는 x² − 3x − 4 = 0 으로 정리한 뒤 넣습니다.

계수가 분수면 통분해 정수로 만듭니다. 양변에 같은 수를 곱해도 근은 변하지 않으므로, (1/2)x² + x − 3 = 0 은 양변에 2를 곱해 x² + 2x − 6 = 0 으로 바꿔도 됩니다.

근이 정수로 떨어지지 않을 때

교과서 문제는 대부분 근이 깔끔하게 나오지만 실제 문제는 그렇지 않습니다.

판별식이 완전제곱수가 아니면 근에 루트가 남습니다. 이 계산기는 소수로 표시하므로 근삿값을 바로 볼 수 있습니다.

정확한 값이 필요하다면 √ 형태로 남겨 두어야 합니다. 예를 들어 x² − 2x − 1 = 0 의 근은 1 ± √2 이고, 소수로는 약 2.414와 −0.414입니다.

자주 묻는 질문

Q. 허근은 무슨 의미인가요? A. 실수 범위에서는 해가 없다는 뜻입니다. 복소수 범위로 확장하면 해가 존재합니다. 전기 회로나 신호 처리에서는 실제로 쓰입니다.

Q. 삼차방정식도 공식이 있나요? A. 있지만 매우 복잡합니다. 5차 이상은 일반적인 근의 공식이 존재하지 않는다는 것이 증명되어 있습니다.

Q. 근이 하나만 나오는데 왜 중근이라고 하나요? A. 같은 값이 두 번 겹친 것으로 보기 때문입니다. (x − 2)² = 0 은 x = 2가 두 번 나온 형태이고, 그래프는 x축에 접합니다.

Q. 계수가 소수여도 되나요? A. 됩니다. 결과가 소수로 나올 뿐 계산은 같습니다.

함께 보면 좋은 계산

넓이와 최댓값은 도형 넓이 계산기에서 다룹니다.

손익분기점은 손익분기점 계산기를 쓰세요.

비율 계산은 비율 계산기에서 할 수 있습니다.

정리

• 판별식 D = b² − 4ac 로 근의 형태를 먼저 판정합니다
• 근의 합은 −b/a, 곱은 c/a입니다
• 꼭짓점의 x좌표는 −b/2a입니다

판별식을 먼저 보고 근의 형태를 짐작한 뒤 값을 확인하는 순서가 계산 실수를 줄이는 데 도움이 됩니다.

2026년 8월 기준으로 작성했습니다.