수열 계산기 — 등차수열과 등비수열

수열은 규칙에 따라 나열된 수입니다. 가장 기본이 되는 두 가지가 등차수열과 등비수열입니다.

결론부터

• 등차수열은 일정한 수를 더해 갑니다
• 등비수열은 일정한 수를 곱해 갑니다
• 등비수열은 항이 커지는 속도가 훨씬 빠릅니다

등차수열

첫째항 a에 공차 d를 계속 더합니다.

일반항 aₙ = a + (n − 1) × d
합    Sₙ = n × (2a + (n − 1)d) ÷ 2
        = n × (첫째항 + 끝항) ÷ 2

첫째항 100, 공차 5라면 100, 105, 110, 115, 120, …

20번째 항은 100 + 19 × 5 = 195, 20항까지의 합은 20 × (100 + 195) ÷ 2 = 2,950입니다.

합 공식은 "평균 × 개수"로 이해하면 외우기 쉽습니다. 첫째항과 끝항의 평균이 전체 평균이기 때문입니다.

등비수열

첫째항 a에 공비 r을 계속 곱합니다.

일반항 aₙ = a × r^(n−1)
합    Sₙ = a × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1)   (r ≠ 1)

첫째항 100, 공비 2라면 100, 200, 400, 800, 1600, …

20번째 항은 100 × 2¹⁹ = 52,428,800입니다.

같은 20항인데 등차수열의 195와 비교하면 26만 배입니다.

증가 속도의 차이

첫째항 100, 등차 공차 5, 등비 공비 1.05로 비교합니다.

초반에는 비슷하지만 뒤로 갈수록 벌어집니다. 공비가 1.05, 즉 5% 증가율이어도 100항이면 125배가 됩니다.

복리가 등비수열입니다. 복리 계산기의 계산이 바로 이 구조입니다.

어디에 쓰이나

적금 계산 — 매달 넣는 돈에 각각 다른 기간의 이자가 붙습니다. 그 이자들이 등차수열을 이루어 합 공식으로 계산됩니다. 적금 만기 계산기에서 다루는 n(n+1)/2가 그것입니다.

대출 상환 — 원리금균등 상환액 공식은 등비수열의 합에서 나옵니다. 대출 이자 계산기의 공식이 그 결과입니다.

감가상각 — 정률법 감가는 등비수열입니다. 매년 남은 가치에 일정 비율을 곱합니다. 자동차 감가상각 계산기가 이 방식입니다.

인구와 세균 증식 — 일정 비율로 늘어나는 현상은 등비수열입니다.

계단식 요금 — 구간마다 일정액이 더해지면 등차수열입니다.

무한등비급수

공비의 절댓값이 1보다 작으면 항이 0에 가까워집니다. 이때 무한히 더해도 값이 발산하지 않습니다.

S = a ÷ (1 − r)    (|r| < 1)

첫째항 100, 공비 0.5면 100 + 50 + 25 + 12.5 + … = 100 ÷ 0.5 = 200입니다.

무한히 더하는데 200을 넘지 않습니다. 0.999… = 1 이라는 것도 이 원리로 설명됩니다.

직접 확인해 본 것

두 수열을 나란히 계산해 봤습니다.

등비는 초반에 눈에 띄지 않습니다. 10항까지는 등차와 큰 차이가 없어 보입니다. 차이가 드러나는 것은 훨씬 뒤입니다.

복리를 체감하기 어려운 이유가 여기 있습니다. 초반 몇 년은 단리와 비슷해 보여 중도에 포기하기 쉽습니다.

공비가 1보다 작으면 반대로 수렴합니다. 감가상각처럼 값이 줄어드는 경우가 그렇습니다. 0에 가까워지지만 정확히 0이 되지는 않습니다.

계차수열과 다른 수열

계차수열 — 이웃한 두 항의 차가 또 하나의 수열을 이루는 경우입니다. 1, 2, 4, 7, 11, …은 차가 1, 2, 3, 4로 등차수열입니다.

피보나치수열 — 앞의 두 항을 더해 다음 항을 만듭니다. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

조화수열 — 역수가 등차수열을 이룹니다. 1, 1/2, 1/3, 1/4, …

이 계산기는 등차와 등비 두 가지를 다룹니다. 가장 널리 쓰이고 다른 수열의 기초가 되기 때문입니다.

시그마 표기

수열의 합을 나타낼 때 시그마(Σ)를 씁니다.

Σ(k=1 to n) aₖ = a₁ + a₂ + … + aₙ

자주 쓰이는 공식들입니다.

Σk       = n(n+1)/2
Σk²      = n(n+1)(2n+1)/6
Σk³      = {n(n+1)/2}²

1부터 n까지의 합이 n(n+1)/2입니다. 1부터 100까지 더하면 100 × 101 ÷ 2 = 5,050입니다.

적금 이자 계산에 이 공식이 그대로 쓰입니다. 첫 달 돈은 n개월, 마지막 달 돈은 1개월치 이자가 붙어 합이 n(n+1)/2 개월분이 되기 때문입니다.

문제에서 수열 찾기

차가 일정하면 등차입니다. 2, 5, 8, 11 → 차가 3으로 일정합니다.

비가 일정하면 등비입니다. 2, 6, 18, 54 → 비가 3으로 일정합니다.

둘 다 아니면 계차를 봅니다. 1, 3, 6, 10, 15 → 차가 2, 3, 4, 5로 등차수열입니다. 이런 수를 삼각수라고 하며 n(n+1)/2로 표현됩니다.

역수를 봅니다. 1, 1/2, 1/3, 1/4 → 역수가 1, 2, 3, 4로 등차입니다.

앞의 항들을 더해 보기도 합니다. 1, 1, 2, 3, 5, 8 → 앞의 두 항의 합입니다.

수열을 다루는 순서

1단계 — 규칙을 찾습니다. 이웃한 항의 차와 비를 각각 구해 봅니다. 차가 일정하면 등차, 비가 일정하면 등비입니다.

2단계 — 첫째항과 공차·공비를 확정합니다. 계산기에 넣을 값은 이 둘입니다.

3단계 — 무엇을 구할지 정합니다. 특정 항의 값인지, 합인지에 따라 쓰는 공식이 다릅니다.

4단계 — 결과를 검산합니다. 계산기가 보여 주는 처음 몇 항이 문제의 수열과 맞는지 확인하면 입력 실수를 바로 잡을 수 있습니다.

자주 묻는 질문

Q. 공차가 음수여도 되나요? A. 됩니다. 항이 일정하게 줄어드는 수열이 됩니다.

Q. 공비가 1이면요? A. 모든 항이 같습니다. 합은 첫째항 × 항 수입니다.

Q. 항 번호는 0부터 시작하나요? A. 첫째항이 1번입니다. 0번 항은 없습니다. 프로그래밍에서 배열이 0부터 시작하는 것과는 다릅니다.

Q. 값이 지수로 표시됩니다. A. 자릿수가 너무 커지면 지수 표기로 바뀝니다. 공비가 크고 항 번호가 크면 금방 그렇게 됩니다.

수열이 실제 계산에 쓰이는 방식

적금 이자 — 매달 넣은 돈에 붙는 이자 개월수가 n, n−1, n−2, …, 1로 등차수열을 이룹니다. 그 합이 n(n+1)/2이고, 여기에 월 이율과 월 납입액을 곱하면 이자 총액이 나옵니다. 적금 만기 계산기의 공식이 그것입니다.

대출 상환액 — 매달 같은 금액을 갚을 때 각 납입액의 현재가치가 등비수열을 이룹니다. 그 합이 원금과 같아지는 조건에서 월 상환액이 도출됩니다. 대출 이자 계산기의 공식이 여기서 나옵니다.

복리 — 원금에 (1+이율)을 계속 곱하므로 등비수열입니다.

감가상각 — 정률법은 매년 남은 가치에 일정 비율을 곱해 등비수열이 됩니다.

금융 계산의 상당 부분이 수열 공식이라고 볼 수 있습니다. 공식을 외우지 않아도 구조를 알면 왜 그런 값이 나오는지 이해됩니다.

함께 보면 좋은 계산

복리 계산은 복리 계산기에서 확인하세요. 등비수열이 실제로 적용된 예입니다.

적금 이자는 적금 만기 계산기를 쓰세요.

경우의 수는 경우의 수 계산기에서 다룹니다.

정리

• 등차는 더하고 등비는 곱합니다
• 등차 합은 (첫째항 + 끝항) × 개수 ÷ 2입니다
• 복리, 대출, 감가상각이 모두 수열 공식에서 나옵니다

규칙만 찾으면 나머지는 공식이 처리합니다. 어려운 것은 계산이 아니라 어떤 수열인지 알아보는 일입니다.

2026년 8월 기준으로 작성했습니다.